B1セルから下方向に日付が入力されているとします。
また、その日付は　2023/1/16〜2024/1/15　といった1年の日付が入力されるものとします。
A1の数式は
=IF(YEAR($B$1)+1=YEAR(B1),12,
(IF(DAY(B1)>=16,MONTH(B1),MONTH(B1)-1)))
といった感じでいかがでしょうか?

数式は
=IF((TEXT(TODAY(),"mdd"))*1<116,12,
(IF(DAY(TODAY())>=16,MONTH(TODAY()),MONTH(TODAY())-1)))
こんな感じでいかがでしょうか?

> （会社で日付入力すらも面倒がって適当に締め月を入力してくる人が多いので）
入力の間違いがあるとき、日付が無いとチェックできないのでは?
といらぬ心配をしてしまいそうです。

申し訳ありません、何かおかしな感じがしていたのですが、
TODAY()　を使っているので、ワークシートを開くたびにすべての計算が再計算されます。
よって、数式で計算したら、値の貼り付けなどをして数式を値に変更する必要があります。
やっぱり、どこかに入力日でも計算のもとになる日付を入れておき、
その日付で計算することをお勧めします。
数式は ↓のXXXを入力した日付のセルに変更します。
=IF((TEXT(XXX,"mdd"))*1<116,12,
(IF(DAY(XXX)>=16,MONTH(XXX),MONTH(XXX)-1)))


どうしてもということでしたら、VBAで例えばB2:B15セルが変更されたら、
その横のA列のセルに計算結果を返す・・・といったものを作成はできます。
しかし、B2:B15セルで何らかの修正を行うとその時の計算結果に書き換えられます。
実用上は非常にあぶないので、おすすめはできません。
Private Sub Worksheet_Change(ByVal Target As Range)
    Dim m As Integer
    If Intersect(Target, Range("B2:B15")) Is Nothing Then Exit Sub
    
    If Month(Date) = 1 And Day(Date) <= 15 Then
        m = 12
    ElseIf Day(Date) >= 16 Then
        m = Month(Date)
    Else
        m = Month(Date) - 1
    End If
    
    Target.Offset(0, -1).Value = m
End Sub