作業列を使っています。
C1セルに月を計算します。=MONTH(B1)
A1セルには
=TEXT(B1,"yyyymm")&"-"&TEXT(COUNTIF($C$1:C1,MONTH(B1)),"000")
とします。
すると、お書きの希望の値と同じになります。
「1月以外（2月〜12月）は001から始まります。」は考慮していません。

ところで、お使いのExcelのバージョンは何ですか？
数式もいろいろ異なってきそうな気がします。

COUNTIFS関数を使うと作業列が不要になります。
=TEXT(B1,"yyyymm")&"-"&
TEXT(COUNTIFS($B$1:B1,">="&DATE(YEAR(B1),MONTH(B1),1),$B$1:B1,"<="&DATE(YEAR(B1),MONTH(B1)+1,0)),"000")

返事がありませんので、この問題で遊んでみましょう。
最初に書いてあった数式はちょっとエラーとなり、解読する気にならなかったので無視します。
SUMPRODUCT関数を使うなら、
=TEXT(B1,"yyyymm")&"-"&TEXT(SUMPRODUCT((MONTH($B$1:B1)=MONTH(B1))*1),"000")
こんな感じになると思います。