条件付き書式の条件式はExcel2016もExcel2013と同様です。
> 具体的に言うと、たとえば「2018/1/8　成人の日」に色が付くべきところ、そのひとつ上の「2018/1/7」が色が付いてしまうのです。
色がつくセルの位置が1つ上にずれているということは、条件式がおかしいのではありませんか?
2018/1/8のセルを選択して、[条件付き書式]→[ルールの管理]で条件式(ルール)と適用先を確認します。
例えば、条件式が　=WEEKDAY($B3)=7　となっているなら、適用先の最初のセルが B3セルからになっているはずです。
この条件式(ルール)のセル番地が1つ下のセル B4になっていませんか?
または、条件式が　=WEEKDAY($B3)=7で適用先のセル範囲がが上に1つずれて、B2からになっていませんか?

> 2018/1/13が土曜日なのですが、2018/1/13のすぐ上の2018/1/12のセルが青くなってしまいます。もう2件の2018/1/12のセルは色は変わりません）
2018/1/13の値を条件式で判定して「土」となっているのでその上が青くなります。
他の色が変わらない2件の1/12のセルの1つ下は「土」でないので色が付かないのではありませんか?
そうであれば、条件式が1つずれている可能性が高いと考えます。

そうでなければ、条件付き書式のルールと適用範囲を書いてください。
そして、判定する日付の入力されている範囲も併せてお知らせください。