コードに問題はないのかもしれませんが、気になるところを書き換えてみました。
Sub 抽出_改()
Dim S As Long, E As Long
S = Range("Q1").Value2
E = Range("S1").Value2
'----抽出先をあらかじめクリアしておきます
Sheets("抽出").Range("G:T").ClearContents
'----アクティブシートではなく、シート名を明示します。
With Worksheets("Sheet1").Range("A1").CurrentRegion
    .AutoFilter Field:=12, Criteria1:=">" & S, Operator:=xlAnd, Criteria2:="<=" & E
    .Copy Worksheets("抽出").Range("G2")
     '---オートフィルターを解除します
    .AutoFilter
End With

Sheets("抽出").Activate
Range("A1").Select

End Sub